Einführung

Begriffe wie Wolfsquinte, pythagoreisches und syntonisches Komma, Diësis usw. sind fast allen ausführenden Musikern geläufig, und sie sind bei der täglichen musikalischen Praxis – bewusst oder unbewusst – mit diesen ›Temperaturproblemen‹ konfrontiert. Allein die mathematische Herausforderung schreckt meist ab, sich intensiver mit dem Gegenstand auseinanderzusetzen. Im Folgenden sollen die grundlegenden Temperaturprobleme zunächst prinzipiell erläutert und erst abschließend mit einigen mathematischen Berechnungen konkretisiert werden. Hierbei wird versucht werden, jeden erforderlich Rechenschritt als auch die Ausführung mit dem Taschenrechner aufzuzeigen, da dies nicht zum »täglichen Brot^[1]« des Musikers gehört.Ziel ist nicht die systematische Darstellung sämtlicher historischer Temperaturen. Vielmehr soll der Leser ein ›Gefühl‹ für die grundlegenden Probleme beim Temperieren bzw. Stimmen von Tasteninstrumenten bekommen, die sich in der Folge leicht auf alle historischen Temperaturen übertragen lassen. Auch soll verdeutlicht werden, dass eine einwandfrei richtige Temperatur aufgrund sich gegenseitig ausschließender, physikalisch jedoch feststehender Parameter nicht existieren kann.

Die Wolfsquinte

Bei der Wolfsquinte handelt es sich um eins der – zumindest namentlich – bekanntesten Probleme verschiedener historischer Stimmungen bzw. Temperaturen. Besonders leicht verständlich ist die Ableitung der pythagoreischen Wolfsquinte, da die ihr zugrunde liegende pythagoreische Stimmung^[2], die auf Pythagoras von Samos (6. Jh. vor Christus) zurückzuführen sein soll, sehr leicht erklärbar ist, da sie mit nur einem reinen^[3] Intervall arbeitet, nämlich der reinen Quinte. Schichtet man 12 reine Quinten übereinander, erreicht man mutmaßlich die 7. Oberoktave des Ausgangstons, z. B. C₁–c⁵. Dies würde bedeuten, dass das reine Quintintervall multipliziert mit 12 zum gleichen Zielton führt wie die reine Oktave multipliziert mit 7. Dem ist jedoch nicht so. Bevor dies mathematisch erläutert werden soll, ist es hilfreich sich zu vergegenwärtigen, dass die Schichtung von 12 Quinten auch ›musiktheoretisch‹ nicht zum mehrfach oktavierten Ausgangspunkt zurückfindet: c–g–d–a–e–h–fis–cis–gis–dis–ais–eis–his(!). Dass ein his im entsprechenden musikalischen Kontext anders intoniert wird als ein c (nämlich höher, obwohl der Stammton h unter c liegt) und ihm in der tonalen Musik eine andere Funktion zukommt, ist bekannt und mit den meisten Instrumenten, z. B. Streich- oder Blasinstrumenten, leicht realisierbar. Ausnahmen bilden u. a. Tasteninstrumente, deren Töne sich nicht (oder nur sehr begrenzt) durch bestimmte Spieltechniken erhöhen oder erniedrigen lässt. Deutlich wird dies, da den Tönen his und c die gleiche Taste zugewiesen ist^[4]. Das Bild des sich schließenden und zum Ausgangspunkt zurückführenden Quintenzirkels ist somit irreführend. Sinnvoll ist es, von einer Quintenspirale, einem Quintenturm oder einer Quintengeraden zu sprechen, die jeweils zu beiden Seiten hin offen sind und somit Wiederholungen vermeiden.

Nicht nur musiktheoretisch sondern auch mathematisch gelangt man hier deutlich über das Ziel hinaus: Das erreichte his⁵ liegt nämlich um einen mathematisch berechenbaren Cent-Wert (dies ist die Maßeinheit, mit der Intervalle angegeben werden, siehe unten) höher. Die Differenz zwischen his⁵ und c⁵ nennt man pythagoreisches Komma.

Für Tasteninstrumente ergibt sich nun das spezielle Problem, dass nicht nur das c⁵/his⁵ nicht eindeutig zu stimmen ist, sondern jede c/his-Taste der gesamten Klaviatur. Um dies zu korrigieren, wird die letzte der 12 Quinten, hier also das Intervall eis⁵–his, etwas verkleinert, nämlich genau um den Wert des pythagoreischen Kommas. Die resultierende Quinte ist nun nicht mehr rein, sondern deutlich kleiner, und da sie »wie ein Wolf heult«, wurde ihr der Name Wolfsquinte gegeben.

Angemerkt sei bereits an dieser Stelle, dass sich ähnlich gelagerte Probleme auch mit anderen ›Stimmintervallen‹ ergeben (siehe unten). Sehr deutlich wird dies – zunächst rein musiktheoretisch – bei Intervallen, die bereits nach wenigen Schichtungen zum einfach oktavierten Ausgangston (auf Tasteninstrumenten!) gelangen: große Terz (c–e–gis–his), kleine Terz (c–es–ges–heses–deses), übermäßige Quarte (c–fis–his). Nahezu absurd wird dies bei der chromatischen Tonleiter (gemeint ist hier die ›tatsächliche‹ chromatische Tonleiter, die nur aus chromatischen Schritten, also übermäßigen Primen, besteht): c–cis–cisis–cisisis–cisisisis–cisisisisis–cisisisisisis–cisisisisisisis–cisisisisisisisis–cisisisisisisisisis–cisisisisisisisisisis–cisisisisisisisisisisis–cisisisisisisisisisisisis!

Intervalle als Frequenzverhältnisse

Man stelle sich ein Monochord vor, eine einzelne über einem Resonanzkörper gespannte Saite mit der Grundstimmung c. Halbiert man nun die Saite mit dem Finger und zupft eine der beiden Hälften an, schwingt nur diese eine Saitenhälfte. Resultat ist ein Ton der eine Oktave über dem Grundton liegt, nämlich c¹. Der Oktave wird deshalb das Frequenzverhältnis 2:1 zugewiesen. Die Länge der Teilsaite (1/2) und das Schwingungsverhältnis (2/1, bzw. 2:1) verhalten sich reziprok (umgekehrt proportional) zueinander. Einige weitere Beispiele: Drittelt man die Saite ergeben sich zwei unterschiedlich lange ›Teilsaiten‹, eine mit der Länge eines Drittels der Ursprungssaite und eine mit einer Zwei-Drittel-Länge. Die längere Teilsaite hat ein Frequenzverhältnis von 3:2 und entspricht der reinen Quinte. Es erklingt also ein g. Bei einem Teilungsverhältnis von 4:3 erklingt die reine Quarte f (siehe Tabelle Frequenzverhältnisse). Die resultierenden Töne sind Obertöne des Grundtons c.

Zu beachten ist, dass bereits bei solch einfachen Teilungen der Saite die kürzere Teilsaite zu einem komplexeren Teilungsverhältnis führt, im ersten Fall also 3:1, letzten Fall also 4:1. Hierbei handelt es sich nicht, wie vielleicht vermutet werden kann, jeweils um das Komplementärintervall zu dem Tonresultat der längeren Teilsaite; denn dann müsste die kurze Teilsaite bei der Dreiteilung eine Quarte ergeben (Komplementärintervall der Quinte), die kurze Teilsaite bei Quartteilung wiederum die Quinte. Dies kann jedoch nicht der Fall sein, da 3:1 ? 4:3 und 4:1 ? 3:2. Vielmehr handelt es sich um Intervalle mit ›niedrigen‹ Schwingungsverhältnissen (siehe Intervalle in der unten stehenden Tabelle) zuzüglich einer oder mehrerer Oktaven. Das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 3:1 ist also die Oktave plus Quinte (Duodezime), da 2/1 (Oktave) × 3/2 (Quinte) = 6/2 = 3/1. Das Frequenzverhältnis 4:1 steht für die Doppeloktave; denn 2/1 × 2/1 = 4/1.

Ferner ist zu beachten, dass neben der Saitenlänge auch deren Durchmesser und Umwicklung eine Rolle für die Tonhöhe spielt. Dies erklärt, warum Saiten ähnlicher Länge (z. B. bei der Gitarre) Töne sehr unterschiedlicher Höhe erzeugen.

Aus einfachen Teilungsverhältnissen resultieren Konsonanzen, deren Reinheit mit komplexer werdenden Teilungsverhältnissen abnimmt, bis sie in die Dissonanzen übergehen. Die Wolfsquinte hat, wie wir sehen werden, ein Teilungsverhältnis von 262144:177147^[5], dem man den überaus dissonanten Charakter leicht ablesen kann.

Prime	1:1
Kleine Sekunde	16:15
Große Sekunde
Großer Ganzton      Kleiner Ganzton	9:8 10:9
Kleine Terz	6:5
Große Terz	5:4
Quarte	4:3
Tritonus/verminderte Quinte/Halboktave
Huygens’ Tritonus      Diatonischer Tritonus      Gleichstufige Stimmung      Eulers Tritonus      Pythagorëischer Tritonus      verminderte Quinte	7:5 64:45 Wurzel aus 2:1 10:7 729:512 45:32
Quinte	3:2
Kleine Sexte	8:5
Große Sexte	5:3
Kleine Septime	16:9
Große Septime	15:8
Oktave	2:1

Aus der Tabelle wird ersichtlich, dass sich die Intervalle in mehrere Gruppen einteilen lassen, die den Kategorien perfekte und imperfekte Konsonanzen sowie Dissonanzen entsprechen. Gruppe I, perfekte Konsonanzen, umfasst die Intervalle Prime, Oktave, Quinte und Quarte. Mathematisch ist hier charakteristisch, dass sich ihr Teilungsverhältnis zu Brüchen mit dem gemeinsamen Nenner 12 erweitern lässt: Prime 12/12, Oktave 6/12, Quinte 8/12, Quarte 9/12. Die Gruppen IIa (Terzen) und IIb (Sexten) repräsentieren die imperfekten Konsonanzen. Der Grund, warum ich zwischen Terzen und Sexten unterscheide, ist der, dass die Terzen wie die perfekten Konsonanzen ein Frequenzverhältnis von »n:n-1« aufweisen, die Sexten jedoch nicht mehr, womit sie quasi das Bindeglied zwischen Kon- und Dissonanzen darstellen. Auch in der historischen Musiktheorie kommt den Sexten eine Sonderstellung zu: Zum einen wird von den vier möglichen Melodieintervallen mit Sexten (große und kleine Sexte jeweils auf- und abwärts) in der Renaissance die kleine Sexte aufwärts als einziges zugelassen, zum anderen sind Sexten nicht schlussfähig^[6]. Gruppe III repräsentiert die Dissonanzen mit komplexeren Teilungsverhältnis.

Umrechnung der Frequenzverhältnisse in Cent-Werte

Bei der bei Tasteninstrumenten heutzutage gebräuchlichen gleichstufigen Stimmung wird das Problem der Wolfsquinte derart umgangen, dass nicht eine Quinte massiv sondern sämtliche 12 Quinten minimal verstimmt sind. Diese ›Quinttrübung‹ fällt dem an diese Stimmung gewöhnten Ohr kaum mehr auf, und die Schichtung von 12 gleichstufigen Quinten erreicht tatsächlich den siebenfach oktavierten Ausgangston. Somit erklingen mit Ausnahme der Oktave auch die anderen Intervalle leicht verstimmt.

Für musikalische Intervalle wurde die logarithmische Maßeinheit Cent eingeführt und der gleichstufigen (nicht reinen!) kleinen Sekunde der Wert 100 Cent zugewiesen. Folglich besitzt die gleichstufige Quinte einen Wert von 700 Cent, da nach Schichtung von sieben gleich großen gleichstufigen kleinen Sekunden die gleichstufige Quinte erreicht wird. Analog besitzt die gleichstufige Oktave den Wert von 1200 Cent. Wiederholt sei, dass nur die Oktave (natürlich neben der Prime: 0 Cent) rein gestimmt ist, die übrigen Intervalle trotz der einfachen Cent-Werte (Vielfache von 100) nicht.

Komplizierter wird es nun, möchte man den Cent-Wert für die übrigen reinen Intervalle berechnen. Wenn wir das bekannte Frequenzverhältnis eines Intervalls als Bruch f1/f2 darstellen und den Cent-Wert i berechnen möchten, ergibt sich folgende mathematische Formel:

i = log₂(f1/f2) × 1200

Beispiel: Berechnung der Cent-Werts der reinen Quinte (3:2):

i = log₂(3/2) × 1200 ˜ 1,955 Cent

Die Rechenoperation ist mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner denkbar einfach auszuführen: 3/2 =; dann die log-Taste drücken; geteilt durch 2 eingeben und erneut log drücken. Abschließend mit 1200 multiplizieren. Das Ergebnis lautet i ˜ 701,955. Die ist der Cent-Wert des reinen Quintintervall. Subtrahiert man hiervon den Wert der gleichstufigen Quinte, also 700 Cent, erhält man den Wert, um den jede gleichstufige Quinte verstimmt ist, nämlich ˜ 1,955 Cent.

Nun zurück zur Wolfsquinte: Addiert man 12 reine Quinten, ergibt sich ein ungefährer Wert von 8423,46 Cent (12 × 1,955). Dies ist also der Cent-Wert für das Intervall C₁–his⁵. Das Intervall C₁–c⁵ (sieben Oktaven übereinander) hat jedoch einen Wert von (genau) 8400 Cent, da die reine Oktave der gleichstufigen entspricht. Die Differenz von ˜ 23,46 Cent ist das pythagoreische Komma. Die Wolfsquinte errechnet sich aus dem Cent-Wert der reinen Quinte minus dem des pythagoreischen Kommas, also 701,955 - 23,46 = 678,495 (alle Werte sind Näherungswerte).

Die mathematisch elegante Berechnung für das pythagoreische Komma lautet:

(3/2)¹² / (2/1)⁷ = 3¹²/(2¹² × 2⁷) = 3¹²/2¹⁹ = 531441/524288

log₂(531441/524288) × 1200 ˜ 23,46 Cent

und für die Wolfsquinte:

(2/1)⁷ / (3/2)¹¹ = (27×2¹¹)/(3¹¹) = 2¹⁸/3¹¹ = 262144/177147

log₂(262144/177147) × 1200 ˜ 678,495 Cent

Die Wolfsquinte ist also ca. 23,46 Cent kleiner als die reine Quinte. Dieses pythagoreische Komma entspricht fast einem reinen Fünftelton bzw. einem gleichstufigen Viertelton!

Ein Rechenbeispiel für die reine große Terz:

log₂(5/4) × 1200 ˜ 386,314 Cent

Hingegen hat die gleichstufige große Terz einen Wert von 400 Cent. Die Differenz beträgt hier bereits rund 14 Cent! Dies ist der Wert, um den jede große Terz bei moderner gleichstufiger Klaviertemperatur im Verhältnis zur reinen großen Terz verstimmt ist.

Weitere besondere, ›nicht-musikalische‹ Intervalle

Die kleine Diësis/das enharmonische Komma

Das kleine Diësis meint die Differenz zwischen drei reinen großen Terzen und der reinen Oktave. Die große Terz hat das Frequenzverhältnis 5:4. Folglich lautet die bekannte Rechenoperation:

(2/1) / ((5/4)³) = (2 × 4³) / 5³ = 128 /125

(log₂(128/125) × 1200) ˜ 41,059 Cent

Zum besseren Verständnis ließe sich die Rechnung auch wie folgt durchführen:

1200 - (3 × (log₂(5/4) × 1200)) ˜ 41,059 Cent

Dieser Wert entspricht exakt der verminderten Sekunde, also dem enharmonischen Schritt der mitteltönigen Stimmung (z. B. fis–ges), daher auch der synonyme Terminus enharmonisches Komma.

Die große Diësis

Die große Diësis ist die Differenz von reiner Oktave und der Schichtung vierer reiner kleiner Terzen:

(6/5)⁴ / 2 = 6⁴/(2 × 5⁴) = 1296/1250

(log₂(1296/1250) × 1200) ˜ 62,565 Cent

Pythagoreische Terz

Beim syntonischen Komma handelt es sich um ein Intervall, das als Differenz zur reinen großen Terz zu verstehen ist: Die Schichtung vierer reiner Quinten erreicht die zwei Oktaven über dem Ausgangston liegende große Terz (z. B. von c bis e²) – in diesem Fall nicht lediglich die gleiche Taste der Klaviatur sondern auch musiktheoretisch. Bei dieser aus Schichtung vierer reiner Quinten abgeleiteten Terz handelt es sich nicht um die reine große Terz (5:4), sondern um die sogenannte pythagoreische, deren Wert im Folgenden berechnet werden soll:

(3/2)⁴ / (2/1)² = 3⁴/2⁶ = 81/64 (Frequenzverhältnis der pythagoreischen Terz)

log₂(81/64) × 1200 ˜ 407,820 (Cent-Wert der pythagoreischen Terz)

Syntonisches Komma

Die Differenz der pythagoreischen Terz zur reinen großen Terz nennt sich syntonisches Komma:

(81/64) / (5/4) = (81/64) × (4/5) = 324/320 = 81/80 (Frequenzverhältnis des syntonischen Kommas)

log₂(81/80) × 1200 ˜ 21,506 (Cent-Wert des syntonischen Kommas)

Kleiner und großer Ganzton

Auch der große Ganzton (9:8), also die ›große reine große Sekunde‹, und kleine Ganzton^[7] (10:9) sind um den Cent-Wert des syntonischen Kommas voneinander verschieden:

(9/8) / (10/9) = 9/8 × 9/10 = 81/80

Epilog

Obwohl die Frequenzverhältnisse und folglich die reinen Intervalle gemäß physikalischer Gesetze vorgegeben sind, schließen sich Intervalle, die sich nach mehrfacher Schichtung zum mutmaßlich (mehrfach) oktavierten Ausgangston ergänzen (von der reinen Oktave selbst abgesehen) und die reine Oktave gegenseitig aus. Sämtliche Temperaturprobleme führen auf diese Diskrepanz zurück, und folglich sind sämtliche der zahlreichen historischen Temperaturen, wie auch die moderne gleichstufige, Kompromissstimmungen.

Besonders evident wird die Unvollkommenheit sämtlicher Temperaturen bei Kombination von Tasteninstrumenten mit Orchester oder Chor – zumal spätestens ab der romantischen Stilepoche, die volle Chromatik und Enharmonik als gegeben voraussetzt. Ist es versierten Kammermusikern noch möglich, die Tonhöhen der Temperatur des Klaviers anpassen, ist diese Feinjustierung bei großen Orchestern oder Chören kaum umsetzbar. Als Beispiel sei der Einsatz des C-Dur-Akkords der Orgel aus Richard Strauss’ sinfonischer Dichtung »Also sprach Zarathustra« genannt, der zum großen C-Dur-Klang des Orchesters tritt und schließlich von der Orgel ausgehalten wird, während das Orchester bereits pausiert.